- Вероятностное пространство
-
Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.
Содержание
Определение
Вероятностное пространство — это тройка (иногда обрамляемая угловыми скобками: ), где
- — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
- — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
- — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .
Замечания
- Элементарные события (элементы ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
- Каждое случайное событие (элемент ) — это подмножество . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие , если (элементарный) исход эксперимента является элементом .
Требование, что является сигма-алгеброй подмножеств , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.
Конечные вероятностные пространства
Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть — конечное множество, содержащее элементов.
В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств . Его часто символически обозначают . Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно , что объясняет обозначение.
Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:
- ,
где , и - число элементарных исходов, принадлежащих .
В частности, вероятность любого элементарного события:
Пример
Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба () и выпадение решки (), то есть Тогда и вероятность можно посчитать следующим образом:
Таким образом определена тройка — вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.
Категория:- Теория вероятностей
Wikimedia Foundation. 2010.