Определитель Вандермонда

Определителем Вандермонда называется определитель

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & \ldots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & \ldots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_n & \ldots & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix} \ \ = \prod_{1 \leq j<i \leq n}\! (x_i-x_j),$

названный в честь французского математика Александра Теофила Вандермонда. ^[1]

Доказательство  

Индукция по размеру матрицы $m$.

База

$m=2$. В данном случае матрица представляет собой

$V_2 = \begin{bmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ \end{bmatrix}$

Очевидно, её определитель равен $x_2-x_1$.

Индукционное предположение

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{m-2} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{m-2} \\ . & . & . & . & . \\ 1 & x_{m-1} & x_{m-1}^2 & \dots & x_{m-1}^{m-2} \\ \end{vmatrix} = \prod\limits_{1\leqslant i<j\leqslant m-1}(x_j - x_i)$

Индукционный переход

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{m-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{m-1} \\ . & . & . & . & . \\ 1 & x_{m} & x_{m}^2 & \dots & x_{m}^{m-1} \\ \end{vmatrix}$

Вычтем из последнего столбца предпоследний, уможенный на $x_1$, из $m-2$-го — $m-3$-й, уможенный на $x_1$, из $i$-го — $i-1$-й, уможенный на $x_1$ и так далее для всех стобцов. Эти преобразования не меняют определитель матрицы. Получим

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & x_2-x_1 & x_2(x_2-x_1) & \dots & x_2^{m-2}(x_2-x_1) \\ . & . & . & . & . \\ 1 & x_{m}-x_1 & x_{m}(x_{m}-x_1) & \dots & x_{m}^{m-2}(x_{m}-x_1) \\ \end{vmatrix}$

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, получаем, что он равен следующему определителю:

$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_2(x_2-x_1) & \dots & x_2^{m-2}(x_2-x_1) \\ . & . & . & . \\ x_{m}-x_1 & x_{m}(x_{m}-x_1) & \dots & x_{m}^{m-2}(x_{m}-x_1) \\ \end{vmatrix}$

Для всех $i$ от 1 до $m-1$ вынесем из $i$-й строки множитель $x_{i+1}-x_1$. Получим

$(x_2-x_1)(x_3-x_1) \dots (x_{m}-x_1) \begin{vmatrix} 1 & x_2 & \dots & x_2^{m-2} \\ . & . & . & . \\ 1 & x_{m} & \dots & x_{m}^{m-2} \\ \end{vmatrix}$

Подставим значение имеющегося в предыдущей формуле значение определителя, известного из индукционного предположения:

$(x_2-x_1)(x_3-x_1) \dots (x_{m}-x_1) \prod\limits_{2\leqslant i<j \leqslant m}(x_{j}-x_{i}) = \prod\limits_{1\leqslant i<j\leqslant m}(x_j - x_i)$ ■

Данная формула показывает, что определитель Вандермонда равен нулю тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна пара $\left(x_i, x_j \right)$ такая, что $x_i=x_j, i \neq j$.

Определитель Вандермонда имеет многочисленные применения в разных областях математики. Например, при решении задачи интерполяции многочленами, т.е. задачи о нахождении многочлена степени $n-1$, график которого проходит через $n$ заданных точек плоскости с абсциссами $x_1, \ldots, x_{n}$, определитель Вандермонда возникает как определитель системы линейных уравнений, из которой находятся неизвестные коэффициенты искомого многочлена.^[2]

Матрица Вандермонда представляет собой частный случай альтернативной матрицы, в которой $f_i(\alpha)=\alpha^{i-1}$.

Литература

• Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука 1968.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Наука — Физматлит, 1999.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Примечания

1. ↑ Alexandre-Théophile Vandermonde  (рус.).
2. ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. II, пар. 4, — Физматлит, Москва, 2009.