- Функция Кёнигса
-
Фу́нкция Кё́нигса связана с решением функционального уравнения
где — неизвестная функция, и — данные функция и константа. Обычно это уравнение (без особых исторических оснований) называют англ.).
- Пусть — аналитическая функция, и пусть , где , причем
- .
Это значит, что является притягивающей неподвижной точкой функции . Пусть есть -я итерация функции :
- при
Для всякого , принадлежащего некоторой окрестности точки , последовательность итераций сходится к .
- Предположив также, что
можно показать, что в окрестности точки существует предел
который является в этой окрестности аналитической функцией переменной и обладает свойствами
Функция есть функция Кёнигса. Ее ввел в 1884 Г. Кёнигс (франц.) [1] при исследовании функционального уравнения Шрёдера. Всякое аналитическое в окрестности точки решение уравнения Шрёдера, в котором , отличается от только постоянным множителем.
- Впервые в математике функцию Кёнигса по существу вычислял Г. Бригс при составлении таблиц логарифмов. Если
и , то решением соответствующего уравнения Шрёдера
- ,
является для любого , так что , где — произвольная константа. Метод вычисления функции у Бриггса есть численная реализация предельного перехода в приведенном выше определении функции Кёнигса. Он был опубликован в 1624 году в книге Бригса «Логарифмическая арифметика».
Ссылки
Литература
- Briggs H. Arithmetica logarithmica. Londini, 1624
- Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. М.-Л.: ОНТИ, 1938.
- Koenigs G. Recherches sur les intégrals de certaines équations fontionnelles. Ann. École Normale, Suppl., 1884, (3)1.
- Montel P. Leçons sur les récurrences et leurs applications. Paris, 1957.
- Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
- Горяйнов В. В. Функция Кёнигса и дробное итерирование вероятностных производящих функций. // Матем. сборник, т. 193 (2002), № 7, с. 69-86. // http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=sm&paperid=667&what=fullt&option_lang=rus.
Категории:- Функциональные уравнения
- Вычислительная математика
Wikimedia Foundation. 2010.