Фактормножество

Пусть есть множество X, на котором введено отношение эквивалентности $\sim$ (то есть которое обладает следующими свойствами: каждый элемент множества эквивалентен сам себе; если x эквивалентно y, то y эквивалентно x; если x эквивалентно y, а y эквивалентно z, то x эквивалентно z).

Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактормножеством и обозначается $X/\!\sim$. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Отображение из X в множество классов эквивалентности $X/\!\sim$ называется факторотображением.

Примеры

Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.

Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.

Примеры

• Проективную плоскость $\R P^2$ можно определить как факторпространство двумерной сферы, задав отношение эквивалентности $(x,\;y,\;z)\sim(-x,\;-y,\;-z)$.
• Бутылку Клейна можно представить как факторпространство цилиндра $S^1\times [0,\;1]$ по отношению эквивалентности $(\varphi,\;0)\sim(-\varphi,\;1)$ ($\varphi\in[-\pi,\;\pi]$ — угловая координата на окружности).

См. также

• Факторгруппа