Уравнение Лиувилля

В математической физике, теорема Лиувилля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в статистической и гамильтоновой механике. Она гласит, что функция распределения в фазовом пространстве постоянна вдоль траекторий системы — плотность точек системы около данной точки системы, движущихся через фазовое пространство постоянно во времени.

Уравнение Лиувилля

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения в фазовом пространстве (хотя плотность правильный математический термин, но физики называют это распределением). Рассмотрим динамическую систему с координатами q_i и сопряжёнными импульсами p_i, где $i=1,\dots,d$. Тогда распределение в фазовом пространстве ρ(p,q) определяет вероятность $\rho(p,q)\,d^dq\,d^dp$, что частица будет найдена в малом объёме $d^dq\,d^dp$. Уравнение Лиувилля управляет эволюцией ρ(p,q;t) во времени t:

$\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\dot{p}_i\right)=0.$

Производная по времени обозначается точками, и оценивается согласно уравнениям Гамильтона для системы. Это уравнение демонстрирует сохранение плотности в фазовом пространстве. Теорема Лиувилля гласит

Функция распределения постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Простое доказательство теоремы состоит в наблюденнии, что эволюция ρ определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)=0.$

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только следующими слагаемыми

$\rho\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\dot{q}_i}{\partial q_i}+\frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}\right)=\rho\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_i\,\partial p_i}-\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q_i}\right)=0,$

где H — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы, теорема означает, что конвективная производная плотности dρ / dt равна нулю, что следует из уравнения непрерывности, замечая, что поле скоростей $(\dot p , \dot q)$ в фазовом пространстве бездивергентно (это следует из гамильтоновых уравнений).

Другая иллюстрация состоит в том, чтобы рассмотреть траекторию множества точек в фазовом пространстве. Легко показать, что множество траекторий растягивается в одной координате, скажем — p_i — но сжимается по другой координате q_i так, что произведение Δp_iΔq_i остаётся константой.

Физическая интерпретация

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

$N=\int d^dq\,d^dp\,\rho(p,q)$

(Нормировочный множитель обычно включается в меру фазового пространства, но здесь опущен.) В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле сил $\mathbf{F}$ с координатами $\mathbf{x}$ и импульсами $\mathbf{p}$, теорему Лиувилля можно записать в виде

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla_\mathbf{x}\rho+\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{p}\rho=0,$

где $\mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}}$ — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана, и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил $\mathbf{F}$.

В классической статистической механике число частиц N огромно, (обычно по порядку величины число Авогадро, в лабораторных условиях). Полагая, что $\partial\rho/\partial t=0$ даёт уравнение для стационарных состояний системы, можно найти плотность микросостояний доступных в данном статистическом ансамбле. Уравнение для стационарных состояний удовлетворяет выражению ρ равно любой функции гамильтониана H: в частности, распределению Максвелла-Больцмана $\rho\propto e^{-H/kT}$, где T — температура, k — постоянная Больцмана.

Смотрите также: канонический ансамбль и микроканонический ансамбль.

Другие формулировки

Теорему часто формулируют в терминах скобок Пуассона:

$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\{\,\rho,H\,\}$

или оператора Лиувилля,

${\hat{L}}=\sum_{i=1}^{d}\left[\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\frac{\partial }{\partial p_{i}}\right],$

как

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\hat{L}}\rho =0.$

Другой способ формулировки теоремы Лиувилля заключается в том, чтобы сказать, что фазовый объём Γ сохраняется при сдвигах времени. Если

$\int\limits_\Gamma d^dq\,d^dp = C,$

и Γ(t) множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество Γ в момент времени t, тогда

$\int\limits_{\Gamma(t)} d^dq\,d^dp = C,$

для всех времён t. Объём фазового пространства сохраняется. Поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике каноническое преобразование, это может быть доказано если показать, что все канонические преобразования имеют единичный якобиан.

Замечания

• Каноническое квантование даёт квантовомеханическую версию теоремы.

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтонову механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

$\frac{\partial}{\partial t}\rho= \frac{1}{i \hbar}[\rho,H]$

где ρ матрица плотности. Это уравнение называется уравнением фон Неймана

• Уравнение Лиувилля верно для равновесных и неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики. Обобщение на системы со столкновениями являются уравнение Больцмана, и цепочка уравнений Боголюбова.

См. также

• Интеграл Пуанкаре — Картана