Упорядоченная пара

Пара в математике может быть определена с различных точек зрения.

Определение пары в формальной математике

Пусть $\mathbf T$ и $\mathbf U$ — термы и $\complement$ — субстантивный знак веса 2, тогда знакосочетание $\complement TU$ также является термом и обозначается $(\mathbf{TU})$. Подробнее: соотношение $(\exists x)(\exists y)(z=(x,\;y))$ обозначают словами «z есть пара».

Имеет место так называемая аксиома пары.

Аксиома пары

$\forall x\forall y\forall x'\forall y' ((x,\;y)=(x',\;y')\to x=x'\and y=y').$

Определение пары в теории множеств

Число элементов множества A равно 1, или A состоит из одного элемента a, тогда и только тогда, когда при вычитании из него множества {a} получается пустое множество: $A\setminus\{a\}=\varnothing$.

Непустое множество A называется множеством из двух элементов или парой: $A=\{a,\;b\}$, если после вычитания из него множества, состоящего только из одного элемента $a\in A$, останется множество, которое состоит также из одного элемента $b \in A$ (при этом определение не зависит от выбора и порядка следования указанного элемента $a\in A$).

Упорядоченная пара

Наибольшее приложение имеют упорядоченные пары.

Если задана пара $A=\{a,\;b\}$, то пара $\{a,\;\{a,\;b\}\}$ называется упорядоченной парой элементов $a\in A$ и $b\in A$ и обозначается $(a,\;b)$. При этом элемент $a\in A$ называется первым элементом пары, а элемент $b\in A$ — вторым элементом пары.

Литература

• Бурбаки, Н. Теория множеств / Пер. с франц. — М.: Мир, 1965. — 457 с.
• Математическая энциклопедия.