Топологический анализ данных

Топологический анализ данных — новая область теоретических исследований для задач анализа данных (Data mining) и компьютерного зрения.

Основные вопросы:

1. Как из низкоразмерных представлений получать структуры высоких размерностей;
2. Как дискретные единицы складываются в глобальные структуры.

Человеческий мозг легко строит представление об общей структуре по частным данным низких размерностей. Ему, например, не составляет труда получить трехмерную форму объекта по плоским изображениям в каждом глазу. Создание общей структуры также производится при объединении дискретных во времени фрагментов в непрерывный образ. Так, например, телевизионное изображение технически является массивом отдельных точек, который, однако, воспринимается как единая сцена.

Основной метод топологического анализа данных:

1. Замена набора элементов данных некоторым семейством симплициальных комплексов в соответствии с параметром близости.
2. Анализ этих топологических комплексов с помощью алгебраической топологии, а конкретно новой теорией устойчивых гомологий.
3. Перекодировка устойчивой гомологии набора данных в параметризованную версию чисел Бетти, далее называемую штрихкодом.

Облако точек

Основная статья: Облако точек

Данные часто представлены множеством точек в Евклидовом пространстве E_n, форма которого отражает описываемый данными феномен..

Реальные трехмерные объекты могут представляться в виде облака точек. Например лазером отмечаются отдельные точки и их неструктурированный набор служит представлением объекта в компьютере. Облаком точек считается любой (возможно зашумленный) набор точек в E_n или проекций точек в более низкой размерности.

В компьютерной графике и статистике есть различные методы построения прообразов по проекциям. Топологический анализ данных предназначен для пространств высоких размерностей или слишком искривленных чтобы создавать по ним плоские проекции.

Для преобразования облака точек в метрическом пространстве в целостный объект точки используются в качестве вершин графа ребрам которого приписаны расcтояния, затем граф превращается в симплициальный комплекс и изучается средствами алгебраической топологии.

Устойчивая гомология

См. также

• Понижение размерности
• Интеллектуальный анализ данных
• Компьютерное зрение
• Вычислительная топология
• Цифровая топология
• Цифровая теория Морзе
• Анализ формы
• Анализ структурированных данных (статистика)

Ссылки

• Topological Methods in Scientific Computing, Statistics and Computer Science Stanford group
• BARCODES: THE PERSISTENT TOPOLOGY OF DATA
• Topological Data Analysis: the algebraic topology of point data clouds?
• Sanjay Rana Topological Data Structures for Surfaces. — John Wiley and Sons, 2004. — ISBN ISBN 978-0470851517
• TOPOLOGY AND DATA, GUNNAR CARLSSON, BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, Volume 46, Number 2, April 2009, Pages 255–308, Article electronically published on January 29, 2009