- Свойство Дарбу
-
Теоре́ма о сво́йстве Дарбу́ (Д-сво́йстве) для непреры́вной фу́нкции в математическом анализе утверждает, что непрерывный образ отрезка есть отрезок.
Содержание
Формулировка
Пусть дана непрерывная вещественнозначная функция на отрезке Тогда существуют такие, что
Замечания
- Если функция f постоянна, то c = d.
- Теорема о свойстве Дарбу утверждает, что непрерывное отображение переводит любой отрезок в отрезок. Это свойство функции называется свойством Дарбу. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Рассмотрим, например, функцию заданную формулой
Тогда функция f обладает свойством Дарбу, но разрывна в точке x = 0.
Свойство Дарбу для монотонных функций
Пусть функция монотонно возрастает или убывает на всём отрезке. Тогда она обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна.
Обобщение
Свойство Дарбу выполнено не только для непрерывных функций, но и любой функции, являющейся производной другой функции. Последние включают в себя непрерывные функции. Пусть — дифференцируемая внутри области определения, то есть и а также дифференцируема справа в точке a: F' + (a) = f + (a) и слева в точке b: F' − (b) = f − (b). Тогда является отрезком, замкнутым лучом или всей прямой (т.е. замкнуто и связно).
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.