Псевдопростое число

Натуральное число называется псевдопростым, если оно обладает некоторыми свойствами простых чисел, являясь тем не менее составным числом. В зависимости от рассматриваемых свойств существует несколько различных типов псевдопростых чисел.

Существование псевдопростых является препятствием для тестов простоты, пытающихся использовать те или иные свойства простых чисел для определения простоты данного числа.

Псевдопростые Ферма

Составное число n называется псевдопростым Ферма по основанию a, если a и n взаимнопросты и $a^{n-1} \equiv 1\pmod{n}$.^[1]

Псевдопростые Ферма по основанию 2 образуют последовательность:

341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, … (последовательность A001567 в OEIS)

а по основанию 3 — последовательность:

91, 121, 286, 671, 703, 949, 1105, 1541, 1729, 1891, 2465, 2665, 2701, 2821, … (последовательность A005935 в OEIS)

Число, являющееся псевдопростым Ферма по каждому взаимно простому с ним основанию, называется числом Кармайкла.

Псевдопростые Эйлера — Якоби

См. также: Тест Соловея — Штрассена

Нечётное составное число n называется псевдопростым Эйлера — Якоби по основанию a, если оно удовлетворяет сравнению^[2]

$a^{(n-1)/2} \equiv \left( \frac{a}{n} \right) \pmod{n},$

где $\left( \frac{a}{n} \right)$ — символ Якоби. Так как из этого сравнения следует, что $a^{n-1} \equiv 1\pmod{n},$ то всякое псевдопростое Эйлера — Якоби также является псевдопростым Ферма (по тому же основанию).

Псевдопростые Эйлера — Якоби по основанию 2 образуют последовательность:

561, 1105, 1729, 1905, 2047, 2465, 3277, 4033, 4681, 6601, 8321, 8481, 10585, … (последовательность A047713 в OEIS)

а по основанию 3 — последовательность:

121, 703, 1729, 1891, 2821, 3281, 7381, 8401, 8911, 10585, 12403, 15457, 15841, … (последовательность A048950 в OEIS)

Псевдопростые Фибоначчи

Основная статья: Псевдопростое число Фибоначчи (англ.)

Псевдопростые Люка

Основная статья: Псевдопростое число Люка (англ.)

Псевдопростые Перрина

Основная статья: Псевдопростое число Перрина (англ.)

Псевдопростые Фробениуса

Основная статья: Псевдопростое число Фробениуса (англ.)

См. также

• Тест Соловея — Штрассена
• Тест Миллера — Рабина
• Сильное псевдопростое число

Примечания

1. ↑ Weisstein, Eric W. Fermat Pseudoprime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
2. ↑ Weisstein, Eric W. Euler-Jacobi Pseudoprime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.