Правильная часть ряда Лорана

Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням (z − a), то есть ряд вида

$\sum_{n\in \Z}a_n(z-a)^n$

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

1. $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n$ — правильная часть ряда Лорана и
2. $\sum_{n=-\infty}^{-1}{a_{n}}{(z-a)^n}$ — главная часть ряда Лорана.

При этом, ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части.

Свойства

• Если внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо

$D= \{z\in\mathbb C|r<|z-a|<R<\infty\}$

• Во всех точках своего кольца сходимости D ряд Лорана сходится абсолютно;
• Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;
• На любом компактном подмножестве $K\subset D$ ряд сходится равномерно;
• Сумма ряда Лорана в D есть аналитическая функция f(z);
• Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в D почленно;
• Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в D, то совпадают и все коэффициенты этих рядов.
• Коэффициенты a_n ряда Лорана определяются через его сумму f(z) формулами

$a_n=\frac1{2\pi i}\int\limits_\gamma\frac{f(z)\,dz}{(z-a)^{n+1}}$

где γ(t) = ρe^t, $t\in [0,2\pi]$, r < ρ < R — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.

Теорема Лорана

Применение ряд Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая однозначная аналитическая функция f(z) в кольце $D= \{z\in\mathbb C\,|\,r&amp;lt;|z-a|&amp;lt;R&amp;lt;\infty\}$ представима в D сходящимся рядом Лорана.

В частности, в проколотой окрестности

$D= \{z\in\mathbb C\,|\,0&amp;lt;|z-a|&amp;lt;R&amp;lt;\infty\}$

изолированной особой точки a однозначная аналитическая функция f(z) представима рядом Лорана, который служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности изолированной особой точки.

Тип особой точки определяется главной частью ряда Лорана в кольце с центром в этой точке:

• Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
• Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
• Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.