Правила дифференцирования

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах f и g — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Правила дифференцирования общих функций

$\left({cf}\right)' = cf'$

$\left({f + g}\right)' = f' + g'$

$\left({f - g}\right)' = f' - g'$

$\left({fg}\right)' = f'g + fg'$ (известно как «правило Лейбница»)

$\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0$

$(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f > 0$

$(f \circ g)' = (f' \circ g)g'$ — правило дифференцирования сложной функции

$f' = (\ln f)'f, \qquad f > 0$

Производные простых функций

${d \over dx} c = 0$

${d \over dx} x = 1$

${d \over dx} cx = c$

${d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0$

${d \over dx} x^c = cx^{c-1},$        когда $x^c\,\!$ и $cx^{c-1}\,\!$ определены

${d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}$

${d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}$

${d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0$

${d \over dx} \sqrt [n] {x} = {d \over dx} x^{1\over n} = {1 \over n} x^{-{n-1\over n}} = \frac {1} {n \cdot \sqrt [n] {x^{n-1}}}$

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

${d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0$

${d \over dx} e^x = e^x$

${d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}$

${d \over dx} \log_c |x| = {1 \over x \ln c},\qquad c > 0, c \ne 1$

${d \over dx} \ln x = {1 \over x}$

${d \over dx} x^x = x^x(1+\ln x)$

Производные тригонометрических функций

${d \over dx} \sin x = \cos x$

${d \over dx} \cos x = -\sin x$

${d \over dx}\,\operatorname{tg}\,x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x}$

${d \over dx}\,\operatorname{ctg}\,x = -\,\operatorname{cosec}^2\,x = { -1 \over \sin^2 x}$

${d \over dx} \sec x =\,\operatorname{tg}\,x \sec x$

${d \over dx} \,\operatorname{cosec}\,x = -\,\operatorname{ctg}\,x \,\operatorname{cosec}\,x$

${d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx} \,\operatorname{arctg}\,x = { 1 \over 1 + x^2}$

${d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

${d \over dx} \,\operatorname{arcctg}\,x = {-1 \over 1 + x^2}$

${d \over dx} \,\operatorname{arccosec}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

Производные гиперболических функций

${d \over dx}\,\operatorname{sh}\,x = \,\operatorname{ch}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{ch}\,x = \,\operatorname{sh}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{th}\,x = \,\operatorname{sech}^2\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{sech}\,x = - \operatorname{th} x\,\operatorname{sech}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{cth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{cth}\,x\,\operatorname{csch}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{arsh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$

${d \over dx}\,\operatorname{arch}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$

${d \over dx}\,\operatorname{arth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}$

${d \over dx}\,\operatorname{arsech}\,x = { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx}\,\operatorname{arcth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}$

${d \over dx}\,\operatorname{arcsch}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}$

См. также

• Таблица первообразных