Полный дифференциал

Дифференциа́л в математике — линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению.

Обычно дифференциал f обозначается df, а его значение в точке x обозначается d_xf.

Неформальное описание

Рассмотрим гладкую функцию f(x). Проведем касательную к ней в точке x, и отложим на этой касательной отрезок, такой длины, чтобы его проекция на ось x была равна Δx. Проекция этого отрезка на ось y называется дифференциалом функции f(x) в точке x от Δx. Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных x и Δx,

$df\colon(x,\Delta x)\mapsto d_xf(\Delta x)$

определяемой соотношением

$~d_xf(\Delta x)=f'(x)\Delta x,$

в частности, разность приращения функции и её дифференциала — бесконечно малая величина:

f(x + Δx) = f(x) + d_xf(Δx) + o(Δx).

Определения

Для функций

Дифференциал гладкой вещественнозначной функции f определённой на M (M — область в $\R^n$ или гладкое многообразие) представляет собой 1-форму и обычно обозначается df и определяется соотношением

$df(X)=X\!f$

где $X\!f$ обозначает производную f по направлению вектора X в касательном расслоении M.

Для отображений

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие $F\colon M\to N$ есть отображение между их касательными расслоениями, $dF\colon TM\to TN$, такое что для любой гладкой функции $g\colon N\to \R$ имеем

$dF(X)g=X(F\circ g)$

где Xf обозначает производную f по направлению X. (В левой части равенства берётся производная в N функции g по dF(X) в правой — в M функции $F\circ g$ по X).

Это понятие естественно обобщает дифференциал функции.

Связанные определения

• Гладкое отображение $F\colon M\to N$ называется субмерсией, если для любой точки $x\in M$, дифференциал $d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N$ сюръективен.
• Гладкое отображение $F\colon M\to N$ называется гладким погружением, если для любой точки $x\in M$, дифференциал $d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N$ инъективен.

Свойства

• Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:

  $d(F\circ G)=dF\circ dG$ или $d_x(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_xG$

Примеры

• Пусть в открытом множестве $\Omega\subset \R$ задана гладкая функция $f\colon U \rightarrow \R$. Тогда df = f'dx, где f' обозначает производную f, а dx является постоянной формой определяемой dx(V) = V.
• Пусть в открытом множестве $\Omega\subset \R^n$ задана гладкая функция $f\colon\Omega\to \R$. Тогда $df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i$. Форма dx_i может быть определена соотношением dx_i(V) = v_i, для вектора $V=(v_1,v_2,\dots,v_n)$.
• Пусть в открытом множестве $\Omega\subset \R^n$ задано гладкое отображение $F\colon\Omega\to \R^m$. Тогда
      d_xF(v) = J(x)v,
  где J(x) есть матрица Якоби отображения F в точке x.

История

Термин Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) введён Лейбницем. Изначально, dx применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики (за исключением нестандартного анализа).

См. также

• Внешний дифференциал