Поле разложения многочлена

Поле разложения многочлена

По́ле разложе́ния многочлена p над полем K — наименьшее расширение поля, над которым p разлагается в произведение линейных множителей:

p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n),\ x_1,\dots,x_n\in L, L\supset K.

При этом L= K(x_1,\dots,x_n), поэтому о поле L разложения говорят как расширении, полученном присоединением к K всех корней данного многочлена.

Аналогично вводится понятие поля разложения семейства многочленов p_i(x), i\in I — такого расширения L, что каждый pi разлагается в L[x] на линейные множители и L порождается над K всеми корнями pi. Поле разложения конечного множества многочленов p1,p2,...pn, будет, очевидно, полем разложения их произведения p=p1p2...pn

Поля разложения — это в точности то же, что и нормальные расширения

Свойства

Примеры

Литература

  • Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Поле разложения многочлена" в других словарях:

  • Поле разложения — многочлена p над полем наименьшее расширение поля, над которым разлагается в произведение линейных множителей: При этом , поэтому о поле разложения говорят как расширении, полученном присоединением к …   Википедия

  • ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ — многочлена наименьшее поле, содержащее все корни данного многочлена. Точнее, расширение Lполя Кназ. полем разложения многочлена f над полем К, если f разлагается над полем Lна линейные множители: и L=K(a1, . . .,an).(см. Расширение поля). П. р.… …   Математическая энциклопедия

  • Поле Галуа — Конечное поле или поле Галуа поле, состоящее из конечного числа элементов. Конечное поле обычно обозначается или GF(q), где q число элементов поля. Простейшим примером конечного поля является кольцо вычетов по модулю простого числа. Содержание …   Википедия

  • Конечное поле — или поле Галуа поле, состоящее из конечного числа элементов. Конечное поле обычно обозначается или , где число элементов поля. Простейшим примером конечного поля является кольцо вычетов по модулю простого числа p. Содержание …   Википедия

  • Круговое поле — Круговое поле, или поле деления круга степени n это поле , порождённое присоединением к полю рациональных чисел первообразного корня n й степени из единицы . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел. Название поля связано с тем, что …   Википедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение вида где многочлен n й степени от одного или нескольких переменных . А. у. с одним неизвестным наз. уравнение вида: Здесь п целое неотрицательное число, наз. коэффициентами уравнения и являются данными, хназ. неизвестным и является… …   Математическая энциклопедия

  • РЕЗУЛЬТАНТ — м н о г о ч л е н о в f(x)и g(x) элемент поля Q, определяемый формулой (1) где Q поле разложения многочлена корни многочленов и соответственно. Если , то многочлены тогда и только тогда имеют хотя бы один общий корень, когда их Р. равен нулю.… …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА ГРУППА — группа автоморфизмов Галуа расширения L поля k, т. е. группа, состоящая из всех автоморфизмов поля L, оставляющих все элементы подполя k неподвижными. Г. г. обозначается или . Поле инвариантов совпадает с полем k. Если L поле разложения… …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА ТЕОРИЯ — в наиболее общем смысле теория, изучающая те или иные математич. объекты на основе их групп автоморфизмов. Так, напр., возможны Г. т. полей, колец, топологич. пространств и т. п. В более узком смысле под Г. т. понимается Г. т. полей. Возникла эта …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО — Ч комплексное (в частности, действительное) число, являющееся корнем многочлена с рациональными коэффициентами, из к рых не все равны нулю. Если Ч А. ч., то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих своим корнем, существует… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»