Пифагорова тройка

В математике пифагоровой тройкой называется кортеж из трёх натуральных чисел $(x,\;y,\;z),$ удовлетворяющих соотношению Пифагора:

$x^2 + y^2 = z^2. \,$

При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами.

Примитивные тройки

Поскольку уравнение $x^2 + y^2 = z^2 \,$ однородно, при домножении $x \,$, $y \,$ и $z \,$ на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка $(x,y,z) \,$ называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть, $x,\;y,\;z$ являются взаимно простыми числами.

Нетрудно видеть, что в примитивной тройке $(x,y,z) \,$ числа x и y имеют разную чётность, причем чётное делится на 4, а z — всегда нечётно.

Любая примитивная пифагорова тройка $(x,y,z) \,$, где x — нечётно, а y — чётно, однозначно представляется в виде $(m^2-n^2,\;2mn,\;m^2+n^2)$ для некоторых натуральных взаимно простых чисел $m > n \,$ разной чётности, которые можно вычислить по формулам:

$\begin{cases} m=\sqrt{\frac{z+x}2}=\frac{\sqrt{z+y}+\sqrt{z-y}}2\\ n=\sqrt{\frac{z-x}2}=\frac{\sqrt{z+y}-\sqrt{z-y}}2\end{cases}$

Наоборот, любая такая пара чисел $(m,\;n)$ задаёт примитивную пифагорову тройку $(m^2-n^2,\;2mn,\;m^2+n^2).$^[1]

Свойства

Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами $3, 4 , 5 \,\, (3^2 + 4^2 = 5^2).\,$

Всякая пифагорова тройка $(a,\;b,\;c)$ задаёт точку с рациональными координатами $\left( \frac a c,\;\frac b c \right)$ на единичной окружности $x^2+y^2=1.\,$

Неизвестно, существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение.^[2]

Пифагоровы тройки образуют группу по сложению.

Примеры

Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34),(21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

Любую тройку можно получить из примитивной умножением каждого её члена на натуральное число. Например, очевидно, что тройка (14, 48, 50) получена умножением на 2 примитивной тройки (7, 24, 25). Все треугольники, полученные таким образом из примитивной тройки, являются подобными, так как углы между гипотенузой и катетами остаются неизменными.

Возможные значения z в пифагоровых тройках образуют последовательность:

5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, … (последовательность A009003 в OEIS)

Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи, можно составить из них, например, такие пифагоровы тройки:

$x=F_n F_{n+3};\quad y=2F_{n+1}F_{n+2}; \quad z=F_{n+1}^2+F^2_{n+2}$.

История

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

См. также

• Великая теорема Ферма
• Теорема Пифагора

Примечания

1. ↑ В. Серпинский Пифагоровы треугольники. — М.: Учпедгиз, 1959. — 111 с.
2. ↑ Weisstein, Eric W. Пифагорова тройка (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• Е. А. Горин Степени простых чисел в составе пифагоровых троек // Математическое просвещение. — 2008. — В. 12. — С. 105-125.