Однородное пространство

Однородное пространство — множество $M$ вместе с заданным на нём транзитивным действием некоторой группы $G$. Элементы множества M называются точками однородного пространства, группа $G$ — группой движений, или основной группой однородного пространства.

Любая точка $x$ однородного пространства $M$ определяет подгруппу

$G_x=\{g\in G|gx=x\}$

основной группы $G$. Она называется группой изотропии, или стационарной подгруппой, или стабилизатором точки $x$. Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе $G$ с помощью внутренних автоморфизмов.

С произвольной подгруппой $H$ группы $G$ связано некоторое однородное пространство группы $G$ — множество $M=G/H$ левых классов смежности группы $G$ по подгруппе $H$, на котором $G$ действует по формуле

$g(aH) = (ga)H$, $g,a\in G$.

Это однородное пространство называется факторпространством группы $G$ по подгруппе $H$, а подгруппа $H$ оказывается стабилизатором точки $eH=H$ этого пространства ($e$ — единица группы $G$). Любое однородное пространство $M$ группы $G$ можно отождествить с факторпространством группы $G$ по подгруппе $H=G_x$, являющейся стабилизатором фиксированной точки $x\in M$.

Если группа $G$ является топологической группой, а $H$ — её подгруппой (в частности если $G$ — группа Ли, а $H$ — замкнутая подгруппа в $G$), то факторпространство $M=G/H$ каноническим образом снабжается структурой топологического пространства (соответственно структурой аналитического многообразия), относительно которой действие группы $G$ на $M$ является непрерывным (соответственно аналитическим). Если группа Ли $G$ транзитивно и аналитически действует на аналитическом многообразии $M$, то для любой точки $x\in M$ подгруппа $H=G_x$ замкнута и указанная выше биекция аналитична; если при этом число связных компонент группы $G$ не более чем счётно, то эта биекция является диффеоморфизмом.