- Теорема Эрроу
-
Теорема Эрроу (также известна как «Парадокс Эрроу», англ. Arrow’s paradox) — теорема о невозможности «коллективного выбора». Сформулирована американским экономистом Кеннетом Эрроу в 1951 году.[1]
Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат.
Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.
В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.[2][3]
Содержание
Формулировки
Формулировка 1951 года
Пусть есть N≥2 избирателей, голосующих за n≥3 кандидатов (в терминах теории принятия решений кандидатов принято называть альтернативами). У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов — функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования) в общий упорядоченный список.
Система выборов может обладать такими свойствами:
- Универсальность
- Для любого профиля голосования существует результат — упорядоченный список из n альтернатив.
- Полнота
- Система голосования может давать в качестве результата все n! перестановок альтернатив.
- Монотонность
- Если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться.
- Отсутствие диктатора
- Нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей.
- Независимость от посторонних альтернатив
- Если профиль голосования изменится так,что для пары альтернатив x и y , все порядки останутся теми же, то не изменится их порядок и в окончательном результате.
Для N≥2 и n≥3 не существует системы голосования, которая отвечает всем пяти условиям.
Формулировка 1963 года
В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы.
- Универсальность
- Отсутствие диктатора
- Независимость от посторонних альтернатив
- Эффективность по Парето, или принцип единогласия
- если у каждого избирателя альтернатива x в списке стоит выше y, это же должно быть и в окончательном результате.
Для N≥2 и n≥3 не существует системы голосования, которая отвечает всем четырём условиям.
Доказательство теоремы Эрроу
Введем следующие обозначения:
≻i - предпочтения i-го агента; [≻'] - профиль предпочтений (кортеж, элементами которого являются предпочтения всех агентов);
W : Ln → L - функция общественного благосостояния; ≻W - коллективные предпочтения.
Обозначим O - множество исходов, которые каждый агент ранжирует в соответствии со своими предпочтениями.
Дадим формальные определения:
- Парето эффективность
W парето эффективна, если для любых исходов o1, o2 ∈ O, ∀i (o1 ≻i o2) ⇒ (o1 ≻W o2)
- Независимость от посторонних альтернатив
W независима от посторонних альтернатив, если для любых исходов o1, o2 ∈ O и для любых двух профилей предпочтений [≻'] и [≻"] ∈ Ln, ∀i (o1 ≻i' o2 ⇔ o1 ≻i" o2) ⇒ (o1 ≻W([≻"]) o2 ⇔ o1 ≻W([≻"]) o2)
- Отсутствие диктатора
Считаем, что для W отсутствует диктатор, если не существует такого i, что ∀ o1, o2 ∈ O (o1 ≻i o2 ⇒ o1 ≻W o2 )
- Теорема Эрроу
Если |O| ≥ 3, то любая Парето эффективная, независящая от посторонних альтернатив функция общественного благосостояния W имеет диктатора.
Доказательство проведем в 4 этапа.
- Этап 1. Утверждение
- Если каждый агент помещает исход b в самый верх или самый низ своего списка предпочтений, то и в ≻W исход b тоже будет либо вверху, либо внизу списка.
Возьмем произвольный профиль [≻] такой, что в нем для всех агентов i исход b расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений ≻i. Теперь допустим, что наше утверждение неверно, т.е. существуют такие a,c ∈ O, что a ≻W b и b ≻W c. Изменим тогда профиль [≻] так, чтобы для всех агентов выполнялось c ≻i a, не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль [≻']. Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле a ≻W b и b ≻W c. Следовательно, в силу транзитивности ≻W получаем a ≻W c. Но мы предположили, что для всех агентов c ≻i a, тогда в силу парето эффективности должно быть c ≻W a. Полученное противоречие доказывает утверждение.
- Этап 2. Утверждение
- Существует агент, который является центральным в том смысле, что, изменив свой голос, он может переместить исход b из самой нижней позиции в списке ≻W в самую верхнюю позицию в этом списке.
Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход b в самом низу своего списка предпочтений ≻i. Ясно, что и в ≻W исход b находится на самой нижней позиции. Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход b с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Пусть n* - агент, который переставив таким образом b, изменил ≻W. Обозначим [≻1] - профиль предпочтений как раз до того, как n* переместил b, а [≻2] - профиль предпочтений сразу же после того, как n* переместил b. Таким образом, в [≻2] исход b изменил свою позицию в ≻W, при этом для всех агентов b находится либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции ≻i. Следовательно, в силу утверждения, доказанного на Этапе 1, в ≻W исход b занимает самую верхнюю позицию.
- Этап 3. Утверждение
- n* - диктатор над всеми парами <a,c>, не включающими в себя b.
Выберем из пары <a,c> любой элемент. Без потери общности, выберем a. Далее из профиля [≻2] построим [≻3] следующим образом: в ≻n* переместим исход a на первую позицию, оставив остальное ранжирование неизменным; произвольным образом для всех остальных агентов поменяем местами друг с другом a и c. Тогда, как и в [≻1] получим, что a ≻W b (в силу независимости от посторонних альтернатив) и, как и в [≻2] получим, что b ≻W c. Тогда a ≻W c. Теперь построим профиль предпочтений [≻4] следующим образом: для всех агентов поместим исход b на произвольную позицию в списке предпочтений ≻i, для агента n* поместим исход a в произвольную позицию до исхода с. Ясно, что в силу независимости от посторонних альтернатив a ≻W c. Мы получили, что все агенты, кроме n* имеют совершенно произвольные профили предпочтений, а результат a ≻W c получился исходя только лишь из предположения, что a ≻n* c.
- Этап 4. Утверждение
- n* - диктатор над всеми парами <a,b>.
Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент n** для этого исхода, он же является диктатором для всех пар <A,B>, где, в частности, A = a, B = b. Но n* и сам может менять ранжирование в ≻W (это рассматривалось на Этапе 2). Следовательно, можно заключить, что n** совпадает с n*. Доказательство завершено.
См. также
- Парадокс Кондорсе — парадокс выборов, обобщением которого явилась теорема Эрроу.
- Коллективный выбор и индивидуальные ценности
Ссылки
- Теорема о невозможности в задаче пропорционального представительства
- Кардиналистское голосование: Путь преодоления парадоксов социального выбора
Примечания
Категории:- Институционализм
- Парадоксы
- Системы выборов
Wikimedia Foundation. 2010.